АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§17. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИЗМЕНЕНИЕ МОДУЛЯ
1. Неравенство вида |f(х)| > и |f (х)| ≥ а, а — число.
Рассмотрим сначала неравенство |х|
> а. Если а < 0, то очевидно, что х — любое
число, поскольку |х| ≥ 0 для всех значений х.
Если а ≥ 0, то обозначим на числовой прямой
корни уравнения |х| = a то есть числа х1 = -а; х2 = а. Они разбивают числовую прямую на
три интервала (рис.
34). Легко проверить, взяв по одной «пробной» точке в каждом интервале, что
неравенство удовлетворяют следующие значения х : х < а или х > а.
Обобщая, имеем:
множеством решений неравенства |f(x)| > а в случае х < 0 являются все числа из ОДЗ функции
f(x);
а в случае а ≥ 0 это неравенство равносильно
совокупности неравенств
Аналогично можно решать
неравенство |f(х)| ≥ a.
Пример. Решить неравенство |х —
2| > 3.
Решения. Неравенство равносильно
совокупности неравенств
Далее имеем Следовательно,