АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§32. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

2. Оценки левой и правой части уравнения или неравенства.

 

Некоторые виды уравнений вида f(x) =
g(x) и неравенств вида f(x)
g(x) удается
решить за счет ограниченного левой и правой части уравнений.

Если в уравнении f(x) = g(x) или
неравенства
f(x) g(x) для всех значений х из ОДЗ справедливы оценки f(x) a, g(x) <
а (где а — некоторое число), то уравнение или неравенство не имеют решений.

Пример 1. Решите уравнение

Решения. Поскольку |х| 0 для всех значений х, то |х| + 1 1. С другой стороны

Итак, Поэтому
уравнение не имеет решений.

Если в уравнении f(x) =
g(x) или
неравенства
f(x) g(x) для всех значений х из ОДЗ справедливы оценки f(x) а, g(x)
а, то уравнение или неравенство равносильно системе

Пример 2. Решите неравенство

Решения. ОДЗ этого неравенства
состоит из всех действительных чисел. Оцениваем левую часть неравенства |х|
0; -|х| 0; 1-|х| 1. Оценим правую часть неравенства

Итак, Поэтому начальная неравенство
равносильна
системе:

откуда

Следовательно, х = 0 — единственное решение
неравенства.