АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§17. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИЗМЕНЕНИЕ МОДУЛЯ

1. Неравенство вида |f(х)| > и |f (х)| ≥ а, а — число.

 

Рассмотрим сначала неравенство |х|
> а. Если а < 0, то очевидно, что х
любое
число, поскольку |х|
0 для всех значений х.

Если а 0, то обозначим на числовой прямой
корни уравнения |х| =
a то есть числа х1 = -а; х2 = а. Они разбивают числовую прямую на
три интервала
(рис.
34). Легко проверить, взяв по одной «пробной» точке в каждом интервале, что
неравенство удовлетворяют следующие значения х : х < а или х > а.

 

 

Обобщая, имеем:

множеством решений неравенства |f(x)| > а в случае х < 0 являются все числа из ОДЗ функции
f(x);

а в случае а 0 это неравенство равносильно
совокупности неравенств

Аналогично можно решать
неравенство |
f(х)| a.

Пример. Решить неравенство |х
2| > 3.

Решения. Неравенство равносильно
совокупности неравенств

Далее имеем Следовательно,