Надо хорошо понимать: когда мы доказываем теорему или решаем задачу, каждое утверждение надо обосновать, то есть показать, что оно вытекает из какой-либо аксиомы или ранее доказанной теоремы. Если вы опираетесь на какую-то теорему, тщательно проверьте, полностью ли выполнено ее условие. Например, при применении первого признака равенства треугольников проверьте, действительно ли данный угол лежит между данными сторонами, и т. д. Нельзя в своих рассуждениях опираться только на рисунок, однако грамотно выполненный рисунок способствует решению задачи. Также полезным является четкая запись условия и того, что надо найти или доказать.

Задача на признаки равенства треугольников

Задача. На рисунке ; .
Доказать, что .

Доведение:
(Обратите внимание: данные углы не являются углами треугольников, рассматриваются.)
1) как вертикальные с равными углами ( и соответственно).
2) Рассмотрим и .
по доказанным;
как вертикальные;
за условием.
Итак, за стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Задача на равнобедренный треугольник

Задача. На рисунке ; . Доказать, что — равнобедренный.

Доведение:
1) как смежные с равными между собой углами и .
2) Рассмотрим : , значит, по признаку равнобедренного треугольника.
3) Рассмотрим и : AD = CF по условию; по доказанным; по доказанным.
Значит, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонами и углу между ними).
4) как соответствующие элементы равных треугольников.
Следовательно, — равнобедренный треугольник по определению.

Задача на параллельность прямых

Задача. На рисунке ;
. Найти: .

Решения
1) , значит, по признаку параллельных прямых, так и есть внешними разносторонними при прямых a, b и секущей c.
2) и являются внутренними односторонними при и секущей c. Значит, по свойству параллельных прямых. Следовательно, .

Задача на сумму углов треугольника

Задача. Один из углов треугольника равен . Высота и биссектриса, проведенные из вершины этого угла, образуют угол . Найдите неизвестные углы треугольника.
Решения.
Пусть в ; BN — высота (); BL — биссектриса ; (см. рисунок).
Найти: , .

1) BL — биссектриса по условию. Значит, .
2) по аксиоме измерения углов.
3) Рассмотрим : по условию; по доказанным; по свойству острых углов прямоугольного треугольника.
4) Рассмотрим : по условию; по доказанным; по теореме о сумме углов треугольника.
Ответ: ; .

Задача на круг

Задача. На рисунке прямая a касается окружности в точке B. Найти , если .

Решения
1) OB — радиус, проведенный в точку касания.
Значит, по определению касательной: .
2) по аксиоме измерения углов.
3) Рассмотрим : равнобедренный, так как радиусы одной окружности; это означает, что как углы при основании равнобедренного треугольника.
4) по теореме о сумме углов треугольника.
Ответ: .

Дополнительная построение

Во многих задачах для успешного решения надо ввести некоторый элемент, которого не было в условии,— сделать дополнительное построение.
Задача 1. На рисунке ; .
Доказать, что .
Доведение:
1) Дополнительное построение: DF.

2) Рассмотрим и : DM = = DE по условию; MF = EF по условию; DF — общая. Значит, за тремя сторонами.
3) как соответствующие элементы в равных треугольниках.
Очень полезной является дополнительная построение во многих задачах, связанных с понятием медианы треугольника.
Задача 2. Докажите, что треугольник равнобедренный, если у него биссектриса является медианой.
Доведение:
Пусть BD — биссектриса ;
BD — медиана (см. рисунок).
Доказать, что .

1) Дополнительное построение: продолжим медиану BD на отрезок такой же длины — DF и соединим точку F с точкой C.
(Обратите внимание: это стандартная дополн кова построение в задачах на медиану.)
2) Рассмотрим и : по условию; как вертикальные; по строению; Значит, по первому признаку.
3) ; как соответствующие элементы в равных треугольниках.
4) Рассмотрим : по условию (BD — биссектриса); , значит, по признаку равнобедренного треугольника.
5) CF = AB; CF = BC, значит, , что и требовалось доказать.
Задача 3. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на три равные части. Найдите углы треугольника.
Решения
Пусть в (см. рисунок) ; .
.
Найти ; ; .

1) Дополнительное построение: .
2) Рассмотрим и AOD: AD — общая; по условию; по условию.
Значит, по второму признаку. как соответствующие элементы в равных треугольниках.
3) Рассмотрим и AOM: АО — общая. по условию; по условию.
Значит, по теореме о сумме углов треугольника. по второму признаку. Значит, как соответствующие элементы в равных треугольниках.
4) Учитывая, что АО — медиана ABC, получаем .
5) Рассмотрим прямоугольный : , значит, .
6) прямоугольный ;
, значит, .
7) ; .