ГЕОМЕТРИЯ

Раздел И. ПЛАНИМЕТРИЯ

§33. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ. ГОМОТЕТІЯ.

4. Гомотетія.

 

Гомотетією с центром в точке О и
коэффициентом
k называют такое геометрическое
преобразование, которое переводит произвольную точку X фигуры
F в
точку X’ фигуры F‘ так, что ОХ’ = |k|
ОХ, причем когда
k > 0, то точки X и
X’ принадлежат одному
лучу с началом в точке О, а если
k <
0, то точки X и X’ принадлежат двум доповняльним лучам с началом в точке
О
(рис. 331 и рис. 332).

 

 

Фигуры F и F’
при этом называют
гомотетичнимы. На рисунке 331 коэффициент гомотетії
k > 0, а на рисунке 332 коэффициент k < 0.

Рассмотрим основные свойства
гомотетії.

1) Гомотетія с коэффициентом k = 1 переводит фигуру саму в себя.

2) Гомотетія с коэффициентом k = -1 и центром гомотетії О есть
симметрией относительно точки О.

3) Гомотетія является преобразованием
сходства.

4) Гомотетія с коэффициентом к есть
преобразованием подобия с коэффициентом
lkl.

Пример 1. Гомотетія с коэффициентом k = -2 переводит АВС в А’В’С’.
Найдите стороны треугольника А’В’С’, если АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 4 см.

Решения. Поскольку гомотетія с
коэффициентом
k = -2 является преобразованием подобия с
коэффициентом

Итак,

Пример 2. Гомотетія с центром в
начала координат переводит точку А(-2; 3) в точку А'(-6;9). Найдите
коэффициент гомотетії.

Решения. 1) Так как точки А и
А’ лежат в одной четверти, то они принадлежат одному лучу с началом в начале
координат. Поэтому, искомый коэффициент
k
> 0.

2) k = OA/OA, где точка О — начало координат, и является центром гомотетії.