ГЕОМЕТРИЯ
Раздел И. ПЛАНИМЕТРИЯ
§33. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ. ГОМОТЕТІЯ.
4. Гомотетія.
Гомотетією с центром в точке О и
коэффициентом k называют такое геометрическое
преобразование, которое переводит произвольную точку X фигуры F в
точку X’ фигуры F‘ так, что ОХ’ = |k| ∙
ОХ, причем когда k > 0, то точки X и
X’ принадлежат одному
лучу с началом в точке О, а если k <
0, то точки X и X’ принадлежат двум доповняльним лучам с началом в точке О
(рис. 331 и рис. 332).
Фигуры F и F’
при этом называют
гомотетичнимы. На рисунке 331 коэффициент гомотетії k > 0, а на рисунке 332 коэффициент k < 0.
Рассмотрим основные свойства
гомотетії.
1) Гомотетія с коэффициентом k = 1 переводит фигуру саму в себя.
2) Гомотетія с коэффициентом k = -1 и центром гомотетії О есть
симметрией относительно точки О.
3) Гомотетія является преобразованием
сходства.
4) Гомотетія с коэффициентом к есть
преобразованием подобия с коэффициентом lkl.
Пример 1. Гомотетія с коэффициентом k = -2 переводит ∆АВС в ∆А’В’С’.
Найдите стороны треугольника А’В’С’, если АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 4 см.
Решения. Поскольку гомотетія с
коэффициентом k = -2 является преобразованием подобия с
коэффициентом
Итак,
Пример 2. Гомотетія с центром в
начала координат переводит точку А(-2; 3) в точку А'(-6;9). Найдите
коэффициент гомотетії.
Решения. 1) Так как точки А и
А’ лежат в одной четверти, то они принадлежат одному лучу с началом в начале
координат. Поэтому, искомый коэффициент k
> 0.
2) k = OA‘/OA, где точка О — начало координат, и является центром гомотетії.