ГЕОМЕТРИЯ
Раздел И. ПЛАНИМЕТРИЯ
§7. КРУГ. КРУГ.
5. Касательная к окружности и ее свойства.
Касательной к окружности называют прямую,
которая имеет одну общую точку с кругом. Эту точку называют точкой касания.
На рисунке 185 прямая а — касательная к
круга с центром в точке О; точка А — точка касания.
Свойства касательной к окружности:
1. Касательная к окружности перпендикулярна к
радиуса, проведенного в точку касания.
На рисунке 185: а ОА.
2. Расстояние от центра окружности до
касательной к этой окружности равен радиусу окружности.
На рисунке 185: расстояние от центра
круги точки О до касательной равно радиусу окружности ОА.
3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны между собой.
На рисунке 186: к окружности из точки А
проведены две касательные; М и N — точки касания. Тогда AM = AN.
Прямую, которая имеет с окружностью две общие
точки называют секущей. На рисунке 187 прямая m — секущая к окружности.
Свойства касательной и секущей.
1. Если из точки S, находящейся вне круга,
провести секущую, которая пересекает окружность в точках А и В и секущую SС, где С — точка касания, то
SС2 = SА ∙ S8В (рис.
188).
2. Если из точки S провести две секущие, одна из которых
пересекает окружность в точках А и В, а вторая в точках М и N, то
SА ∙
SВ = SМ ∙ SN (рис. 189).
Пример. Из точки S, находящейся вне круга, к окружности
проведено секущую, пересекающую окружность в точках А и В и секущую SC длиной 6 см. AB = 5 см. Найдите SA, если SA < SB.
Решение (рис. 188). Пусть SA = х см, тогда SB = х + 5 (см). Имеем SC2 = SA ∙ SB; 62
= х(х + 5); х2
+ 5 —
36 = 0. Учитывая х >
0, имеем х = 4 (см).
Следовательно, SA = 4 (см).