Розв’язуванян неравенств второй степени с одной
переменной графическим способом. Метод интервалов

Иногда для исследования функций необходимо решать
неравенства второй степени с одной переменной, то есть квадратичные неравенства.

Квадратичная неравенство
это неравенство, в которой одной частью является ноль, a второй ― выражение вида ax2 + bx + c, где a, b, c — действительные числа,
причем a ≠ 0.

Рассмотрим способ решения
квадратичных неравенств с помощью графика функции. Он заключается в том, чтобы
выяснить, для каких значений переменной х график функции, задаваемой
тричленом ax2 + bx + c, находится в
верхний півплощині (то есть приобретает положительных значений), и при которых ― в
нижний півплощині (то есть приобретает отрицательных значений), и выбрать те значения, которые
соответствуют заданной неровности.

Введем и исследуем функцию ƒ(x) = ax2 + bx + c:

1. Если дискриминантов трехчлена отрицателен (D < 0), то график
функции не пересекает ось абсцисс, и

· при
положительном первом коэффициенте a > 0 функция
приобретает положительных значений (ƒ(x) > 0) для всех
действительных значений переменной x(-∞,∞);

· при
отрицательном первом коэффициенте a < 0 функция приобретает отрицательных значений (ƒ(x) < 0) для всех
действительных значений переменной x (-∞,∞).

2. Если дискриминантов трехчлена равна
нулю (D = 0) — график
примыкает к оси абсцисс в точке x1, и

· при
a > 0 функция принимает положительные значения (ƒ(x) > 0) для всех
действительных значений переменной, кроме значения x1 (x (-∞, x1) U (x1, ∞));

· при
a < 0 функция
приобретает отрицательных значений (ƒ(x) < 0) для всех
действительных значений переменной, кроме значения x1 (x (-∞, x1) U (x1, ∞)), где x1 — корень
квадратного трехчлена ax2 + bx + c.

Если заданное неравенство нестрогая, то
значение x1 не изымается.

3) Если дискриминантов трехчлена положительный (D > 0), то график
пересекает ось абсцисс в точках x1 и x2, и

· при
a > 0 функция
приобретает положительных значений (ƒ(x) > 0) для всех
действительных значений переменной, принадлежащих объединению промежутков x (-∞, x1) U (x2, ∞);
функция приобретает отрицательных значений для всех значений переменной, принадлежащих
промежутке (х1; х2);

· при
a < 0 функция
приобретает отрицательных значений (ƒ(x) < 0) для всех
действительных значений переменной, принадлежащих объединению промежутков x (-∞, x1) U (x2, ∞);
функция принимает положительные значения для всех значений переменной, которые принадлежат промежутку
(х1; х2).