АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§17. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИЗМЕНЕНИЕ МОДУЛЯ

3. Общий подход к решению неравенств, содержащих знак модуля.

 

При преодолении более сложных
неравенств, содержащих знак модуля, можно применить тот же подход, что и
при решении уравнений, содержащих несколько знаков модулей.

Оформлять решения на каждом из
образованных промежутков целесообразно в виде системы неравенств, одно из которых —
условие, наложенное на х, а другая неравенство — следствие, которую получили после
раскрытие модулей. Согласно начальной неравенства является объединение ответов,
полученных на каждом из рассматриваемых промежутков.

Пример. Решите неравенство

Решения: 1) ОДЗ: х R.

2)
х + 1 = 0, когда х = -1; 2х — 4 = 0, когда х = 2. Итак, х1 = -1; х2
= 2 — нули підмодульних выражений (рис. 36).

 

 

3)
Обозначим нули підмодульних выражений на числовой прямой «жирными» точками
(поскольку они входят в ОДЗ) и имеем три отрезка

4)
Если х
(-;-1],
то есть х
-1, имеем Следовательно,
на промежутке (-
;-1] имеем систему

Если х (-1;2],
то есть -1 < х
2, имеем Следовательно,
на промежутке (-1;2] имеем систему

Если х (2;+), то есть х > 2, имеем Следовательно,
на промежутке (2;+
) имеем систему

5)
Объединяя ответы, полученные на каждом из рассмотренных промежутков, имеем
Следовательно,