ГЕОМЕТРИЯ
Раздел II. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§15. ПРИЗМА.
3. Площади полной и боковой поверхностей призмы.
Площадью полной поверхности призмы
называют сумм площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей
ее боковых граней.
Площадь Sполн
полной поверхности призмы выражается через площадь Sбич
ее боковой поверхности и площадь Sосн основ призмы формулой
Теорема о площади боковой поверхности
прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
Пример 1. В основе прямой призмы
лежит равносторонняя трапеция, меньшее основание которой равно 3 см, боковая сторона 4
см, а угол при основании 60°. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее высота
равна большей основе трапеции.
Решения. 1) Пусть АВСDА1В1sub>С1D1 — четырехугольная призма, заданная в
условию; DС = 3 см, АD = 4 см, DAB = 60° (рис. 454).
2) Выполним планиметрический рисунок
трапеции АВСD, что лежит в основе призмы (рис.
455), и проведем в нем высоты DК
и СL.
4) КDСL — прямоугольник, поэтому КL = DС = 3 см.
5) ∆ВАК
= ∆СВL (за катетом и гипотенузой), поэтому АК = LВ; LВ = 2 см.
6) Тогда АВ = 2 + 3 + 2 = 7 (см).
7) Высота призмы ВВ1по
условием равна большей основе трапеции. Следовательно, ВВ1 = 7 см.
Пусть в наклонной призме проведено
сечение, перпендикулярное боковым ребрам, пересекает все боковые ребра
(сечение KLM на рисунке 456). Тогда боковую поверхность
наклонной призмы можно найти по формуле:
где Pпер —
периметр сечения; l — длина
бокового ребра.
Пример 2. В наклонной треугольной
призме две боковые грани взаимно перпендикулярны. их общее боковое ребро
находится на расстояниях 3 см и 4 см от двух других боковых ребер. Найти
длину бокового ребра призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 120 см2.
Решения. 1) Пусть АВСА1В1С1
— наклонная призма, у которой КL — расстояние между параллельными ребрами
ВВ1 и АА1, боковые грани АВВ1А1 и ВВ1С1С взаимно перпендикулярны (рис. 456).
2) Выберем на ребре ВВ1 некоторую точку L и проведем КL ВВ1
и LМ ВВ1; LМ — расстояние между параллельными ребрами ВВ1и
СС1, по условию КL = 3 см; LМ
= 4 см.
3) Поскольку КL ВВ1
и LМ ВВ1,
то КLМ ВВ1
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому КLМ — угол между боковыми гранями АВВ1А1
и ВВ1С1С. По условию КLМ=90°.
5) Сечение КLМ перпендикулярная к боковым ребрам призмы.
тоди
боковое ребро