ГЕОМЕТРИЯ

Раздел II. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§15. ПРИЗМА.

3. Площади полной и боковой поверхностей призмы.

 

Площадью полной поверхности призмы
называют сумм площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей
ее боковых граней.

Площадь Sполн
полной поверхности призмы выражается через площадь
Sбич
ее боковой поверхности и площадь
Sосн основ призмы формулой

Теорема о площади боковой поверхности
прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Пример 1. В основе прямой призмы
лежит равносторонняя трапеция, меньшее основание которой равно 3 см, боковая сторона 4
см, а угол при основании 60°. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее высота
равна большей основе трапеции.

Решения. 1) Пусть АВСDА1В1sub>С1D1 — четырехугольная призма, заданная в
условию;
DС = 3 см, АD = 4 см, DAB = 60° (рис. 454).

 

 

2) Выполним планиметрический рисунок
трапеции АВС
D, что лежит в основе призмы (рис.
455), и проведем в нем высоты
DК
и С
L.

 

 

4) КDСL — прямоугольник, поэтому КL = DС = 3 см.

5) ВАК
= СВL (за катетом и гипотенузой), поэтому АК = LВ; LВ = 2 см.

6) Тогда АВ = 2 + 3 + 2 = 7 (см).

7) Высота призмы ВВ1по
условием равна большей основе трапеции. Следовательно, ВВ
1 = 7 см.

Пусть в наклонной призме проведено
сечение, перпендикулярное боковым ребрам, пересекает все боковые ребра
(сечение
KLM на рисунке 456). Тогда боковую поверхность
наклонной призмы можно найти по формуле:

где Pпер
периметр сечения;
l длина
бокового ребра.

 

 

Пример 2. В наклонной треугольной
призме две боковые грани взаимно перпендикулярны. их общее боковое ребро
находится на расстояниях 3 см и 4 см от двух других боковых ребер. Найти
длину бокового ребра призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 120 см2.

Решения. 1) Пусть АВСА1В1С1
— наклонная призма, у которой К
L — расстояние между параллельными ребрами
ВВ1 и АА1, боковые грани АВВ1А1 и ВВ1С
1С взаимно перпендикулярны (рис. 456).

2) Выберем на ребре ВВ1 некоторую точку L и проведем КL ВВ1
и
LМ ВВ1; LМ — расстояние между параллельными ребрами ВВ1и
СС
1, по условию КL = 3 см; LМ
= 4 см.

3) Поскольку КL ВВ1
и
LМ ВВ1,
то К
LМ ВВ1
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому
КLМ — угол между боковыми гранями АВВ1А1
и
ВВ1С1С. По условию КLМ=90°.

5) Сечение КLМ перпендикулярная к боковым ребрам призмы.

тоди
боковое ребро