Алгебра 7 класс Истер А.С. - Генезис 2015 год

Раздел 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ

§ 24. Решение задач с помощью линейных уравнений. Уравнение как математическая модель задачи

Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.

Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:

1) обозначить переменной одну из неизвестных величин;

2) другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную:

3) по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;

4) решить полученное уравнение;

5) проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения остальных неизвестных величин;

6) записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью линейного уравнения.

Задача 1. На свой день рождения сестренки-близняшки Наталья и Елена получили вместе 127 поздравительных SMS-сообщений, причем Наталья получила 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько SMS-сообщений на свой день рождения получила каждая из сестричек?

Решения. Пусть Елена получила х сообщений, тогда Наталья — (х + 13). А обе вместе - (х + х + 13) сообщений, что по условию равна 127.

Имеем уравнение: х + х + 13 = 127. Откуда х = 57.

Итак, Елена получила 57 сообщений,

57 + 13 = 70 (сообщ.) - получила Наталья.

В и д п о в е д ь: 70 сообщений; 57 сообщений.

Задача 2. Максимально возможная сумма кредита рассчитывается банком по формуле:

S = n

где S — сумма кредита, С - среднемесячная зарплата заемщика. Для кредита сроком в один год считают, что n = 9, сроком два года - n = 21, сроком на три года - n = 33. Какой должна быть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика, чтобы банк падал ему кредит в сумме 30 000 грн на:

1) 1 год;

2) 2 года;

3) 3 года?

Р а з в ’ я з а н н я. По условию S = 30 000 грн. Пусть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика составляет х грн.

1) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 9; откуда х = 10 000.

Следовательно, среднемесячная зарплата заемщика должна быть не меньше 10 000 грн.

2) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 21; откуда х ≈ 4285,7.

Следовательно, среднемесячная зарплата должна быть не меньше 4286 грн.

3) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 33; откуда х ≈ 2727,3.

Итак, если заемщик хочет получить кредит на три года, то его среднемесячная зарплата должна быть не меньше 2728 грн.

В и д п о в е д ь: 1) 10 000 грн; 2) 4286 грн; 3) 2728 грн.

Задача 3. Из города А до города В. расстояние между которыми 310 км, выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин после этого из города В в город А выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретиться через 2 ч после выезда легкового автомобиля. Найти скорость каждого автомобиля.

Р а з в ’ я з а н н я. Пусть скорость грузового автомобиля - х км/час. Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Поскольку автомобили выехали в противоположных направлениях и встретились, то вместе они проехали 310 км.

Имеем уравнение: 2, 5х + 2(х + 20) = 310.

Решим его: 2,5 х + 2х + 40 = 310; 4,5 = 270;

х = 60 (км/ч) - скорость грузового автомобиля;

60 + 20 - 80 (км/ч) - скорость легкового автомобиля.

Ответ: 60 км/ч; 80 км/час.

Какого порядка следует придерживаться, решая задачу с помощью уравнения?

892. (Устно) Одно число на 20 больше второго. Меньше из них обозначено через х. Выразите через х большее из этих чисел.

893. (Устно) Одно положительное число в 5 раз больше за второе. Меньше из них обозначено через х. Выразите через х большее из этих чисел.

894. На одной клумбе растет х кустов роз, а на второй - вдвое больше. Выразите через х количество кустов роз, что растет на второй клумбе.

895. (Устно) Расстояние, равное х км велосипедист преодолевает за 5 часов. Выразите через х скорость его движения.

896. (Устно) Первое число обозначили через х, а второе составляет четверть от первого. Выразите второе число через х.

897. Первое число равно х, а второе составляет 70 % от первого. Выразите через х второе число.

898. (Устно) Сумма длин двух отрезков равна 10 см. Длина одного из других см. Выразите через х длину второго отрезка.

899. (Устно) Собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения - х км/час. Выразите через х скорость лодки по течению и против течения.

900. Загадали число. Если от него отнять 7 и полученный результат разделить на 9, то получим 12. Какое число загадали?

901. Найдите число, половина которого вместе с его третей частью равна 40.

902. В двух цистернах вместе 58 т топлива, причем в первой на 4 т меньше, чем во второй. Сколько тонн горючего в каждой цистерне?

903. В автопарке грузовых автомобилей в 6 раз больше, чем легковых. Сколько легковых автомобилей в автопарке, если их вместе с грузовыми 91?

904. Одно из двух положительных чисел втрое больше второго. Найдите эти числа, если их разность равна 28.

905. Бабушки вместе с мамой 99 лет. Сколько лет каждой из них, если бабушка старше мамы на 25 лет?

906. Сумма двух чисел 360, а их отношение равно 5 : 7. Найдите эти числа.

907. Разность двух чисел 42, а их отношение равно 7 : 4. Найдите эти числа.

908. Периметр треугольника равен 20 дм. Две его стороны равны между собой и каждая из них на 1 дм больше третьей. Найдите стороны треугольника.

909. За два дня было продано 384 кг бананов, причем второго дня продали от того, что продали первого. Сколько килограммов бананов продали в первый день и сколько - во второй?

910. Туристы за второй день преодолели от того расстояния, которое преодолели первого дня. Сколько километров преодолели туристы первого дня и сколько второго, если за первый день было преодолено на 3 км больше, чем за второй?

911. За стиральную машину и ее подключение заплатили 2940 грн. Стоимость подключения составляет 5 % от стоимости машина. Сколько стоит стиральная машина?

912. Бабушка лепила вареники в течение двух часов. За второй час она вылепила на 5 % больше вареников, чем за первую. Сколько вареников изготовила бабушка за первый час и сколько за вторую, если за второй час она вылепила на 3 вареники больше, чем за первую?

913. За 2 ч мотоциклист преодолевает такое же расстояние, что и велосипедист за 5 часов. Скорость мотоциклиста на 27 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

914. Ящик с апельсинами на 3 кг тяжелее, чем ящик с лимонами. Какова масса каждого из них, если масса четырех ящиков с апельсинами такая же, как масса пяти ящиков с лимонами?

915. Из города в село турист шел со скоростью 4 км/ч, а возвращался назад со скоростью 3 км/час. На весь путь он затратил 7 часов. Найдите расстояние от города до села.

916. Периметр прямоугольника равен 36 см, причем одна из его сторон на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника и его площадь.

917. Во время летних каникул Сергей прочитал вдвое больше рассказов, чем Костя. Однако в течение сентября Костя успел прочитать еще 24 рассказа, после чего оказалось, что ребята прочитали одинаковое количество рассказов. Сколько рассказов прочитал каждый из ребят к началу учебного года?

918. У Маши было втрое больше денег, чем у Оли. После того как Маша потратила 18 грн, денег у девочек стало поровну. Сколько денег имела каждая из девушек сначала?

919. Сеть кондитерских к годовщине своего открытия дарила посетителям наборы сладостей торговых марок «Хорошо», «Сладко» и «Вкусно». В конце празднования выяснилось, что наборов «Сладко» было подарено на 12 больше, чем наборов «Хорошо», а наборов «Вкусно» - на 31 больше, чем &всехuo;Сладко». По сколько наборов каждой марки было подарено, если посетителей было 430 и каждый из них получил по одному набору?

920. Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и вдвое меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.

921. Можно разложить 68 банок консервов в три ящика так, чтобы во втором было вдвое больше банок, чем в первом, а в третьем - на 3 банки меньше, чем в первом?

922. Или можно 90 книг разместить на трех полках так, чтобы на третий было на 3 книги больше, чем на второй, и на 5 книг меньше, чем на первой?

923. Отцу сейчас - 38 лет, а его сыну — 10. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

924. На одном участке кустов крыжовника и втрое больше, чем на второй. Если с первого участка пересадить 12 кустов на второй, то кустов крыжовника на обоих участках станет поровну. По сколько кустов крыжовника растет на каждом участке?

925. В двух корпусах пансионата проживала одинаковое количество отдыхающих. В связи с проведением ремонта было решено переселить 24 отдыхающие из первого корпуса ко второму, после чего количество отдыхающих в первом корпусе стала в 4 раза меньше, чем во втором. По сколько отдыхающих проживало в каждом корпусе до начала ремонтных работ?

926. В двух мешках сахара было поровну. После того как из первого мешка пересыпали 8 кг до второго, в нем стало вдвое меньше сахара, чем во втором. По сколько килограммов сахара было в каждом мешке сначала?

927. На 33 гривны было приобретено 24 тетради в линейку и клеточку. Стоимость тетради в линейку - 1 грн 20 коп., а в клеточку - 1 грн 50 коп. По сколько тетрадей каждого вида купили?

928. Для копирования видеозаписи праздника последнего звонка приобрели 12 лазерных дисков двух видов: по 2,5 грн и по 3,25 грн за единицу, всего на сумму 33,75 грн. По сколько дисков каждого вида было приобретено?

929. Старинная греческая задача. У Пифагора спросили: «Сколько учеников учится в твоей школе?». На что он ответил: «Половина всех моих учеников изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть молчит, и, кроме того, есть еще три женщины». Сколько учеников обучалось в школе Пифагора?

930. Масса бидона с молоком составляет 25 кг и еще половину его массы. Какова масса бидона с молоком?

931. от одного числа равна - от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 66.

932. 60 % от одного числа равны 45 % от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 210.

933. Лодка потратил на путь по течению 2,5 ч, а против течения 3,6 час. Расстояние, которое проплыл лодка по течению, оказался на 7,6 км меньше, чем расстояние, которое он проплыл против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.

934. Катер по течению реки плыл 1,6 ч, а против течения — 2,5 час. Расстояние, которое преодолел катер против течения, оказалась па 6,2 км больше, чем расстояние, которое преодолел катер по течению. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 16 км/час.

935. Из пункта А до пункта В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист. Через 3 ч из пункта В В пункт А выехал мотоциклист со скоростью 45 км/час. Сколько часов до встречи с мотоциклистом ехал велосипедист, если расстояние от А до В составляет 235,5 км? На каком расстоянии от пункта А произошла их встреча?

936. С коттеджного городка в направлении железнодорожной станции со скоростью 14 км/ч выехал велосипедист, а через 2 ч после него оттуда же, но в противоположном направлении со скоростью 4 км/ч вышел пешеход. Через сколько часов после своего выхода пешеход будет на расстоянии 73 км от велосипедиста? На каком расстоянии от коттеджного городка в это время он будет находиться?

937. Один арбуз на 5 кг легче второй и в три раза легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в два раза тяжелее второй. Найдите массу каждого арбуза.

938. Во время подготовки к олимпиаде по математике Иван решил на 3 задачи меньше, чем Оксана, и в 2 раза меньше, чем Сергей. При этом Иван и Сергей вместе развязали в 2,1 раза больше задач, чем Оксана. Какое количество задач решил каждый ученик, готовясь к олимпиаде?

Упражнения для повторения

939. Вычислите:

1) – 3 ∙ 3 ;

2) – 3 ∙ (- 1 );

3) 5 ∙ (- 1 );

4) 2 : 1 ;

5) - 2 : (- 31 );

6) : (- 14).

940. Сколько процентов составляет:

1) число 7 от числа 28;

2) число 2,7 от числа 3 ?

941. Объясните, почему не имеют решений уравнения:

1) х + 8 = х;

2) у - 2 = у + 3;

3) 0 . х = 15;

4) 7 - m = 2 - m;

5) 0 : х = 13;

6) 3(х + 1) = 3x.

942. Найдите все значения а, при которых уравнение ах = -8 имеет:

1) положительный корень;

2) отрицательный корень.

Интересные задачи для учеников ленивых

943. Муж, жена и двое детей должны переправиться с помощью лодки на противоположный берег реки. Масса человека - 80 кг, его жены - 60 кг, детей — по 40 кг. Как им воспользоваться лодкой, если он выдерживает массу до 80 кг и каждый в этой семье умеет грести.

Домашняя самостоятельная работа № 5

Каждое задание масс по четыре варианта ответов (А-Г), среди которых только один с правильным. Выберите вариант правильного ответа.

1. Из записей является уравнением?

А) 2х - 3;

Б) 2х - 3 > 0;

В) 2х - 3 = 0;

Г) 2 ∙ 7 - 3.

2. Какое из уравнений является линейным?

А) 4x2 = 5;

Б) х + 7 = х2;

В) 3х + х2 = 0;

Г) 2х = 0.

3. Одно из двух чисел на 13 меньше вторых. Меньше из них обозначили через х. Как обозначить больше из них?

А) х - 13;

Б) х + 13;

В) 13х;

Г) .

4. Решите уравнение 2х = -10.

А) -5;

Б) 5;

В) 10;

Г) -10.

5. Какое из уравнений равносильно уравнению 3х - 8 = 10?

А) 2х = -12;

Б) х + 7 = 1;

В) 5х = 30;

Г) х - 9 = 3.

6. Периметр прямоугольника равен 20 см, причем одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше второй. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

А) 3 см;

Б) 4 см;

В) 5 см;

Г) 6 см.

7. Укажите уравнение, корнем которого является любое число.

A) 12х = -8;

Б) 2(х - 1) = 2х;

B) 2(х - 1) = 2х - 2;

Г) 2х = 2х - 2.

8. Найдите корень уравнения + = .

А) 0;

Б) 1;

В) 2;

Г) 5.

9. Приобрели 20 карандашей по 80 коп. и 90 коп., заплатив за всю покупку 17 грн 10 коп. Сколько карандашей по 80 коп. приобрели?

А) 9;

Б) 10;

В) 11;

Г) 12.

10. Решите уравнение |2х - 1| = 5.

А) 3;

Б) 3 и -3;

В) 3 и -2;

Г) 2 и -2.

11. Найдите наименьшее целое значение а, при котором корнем уравнения ах = 8-целое число.

А) 4;

Б) 1;

В) -8;

Г) -16.

12. 80 % от одного числа равна от другого. Найдите меньшее из этих чисел, если их сумма равна 76.

А) 30;

Б) 24;

В) 22;

Г) 20.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 22 - § 24

1. Или с число 4 корнем уравнения:

1) х + 7 = 10;

2) 3х = 12?

2. Какие из уравнений являются линейными:

1) 5х = -2;

2) х2 = 7;

3) 7 : х = 7;

4) 0х = 0?

3. Сколько корней имеет уравнение:

1) 3х = 5;

2) 0х = 7?

4. Решите уравнение:

1) 4х = 12;

2) 0,2 х - 1,2 = 0.

5. Или равносильные уравнения 3х - 2 = х + 8 и 2(х - 3) = х - 1?

6. В одной корзине было в два раза больше грибов, чем во втором. По сколько грибов было в каждой корзине, если в обеих корзинах вместе было 78 грибов?

7. Решите уравнение:

1) + = 2;

2) 5х - (х + 5) = 4(х - 2).

8. Лодка по течению плыл 3,5 ч, а против течения - 4,2 час. Расстояние, которое проплыл лодка по течению, оказался на 9,8 км больше, чем расстояние, которое он проплыл против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.

Дополнительные упражнения

9. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -6 является целым числом.

10. Решите уравнение |3 - 4х| = 5.

11. Из города в деревню отправился пешеход со скоростью 4 км/час. Через 2 ч из деревни в город выехал велосипедист со скоростью 16 км/час. Сколько часов до встречи с пешеходом ехал велосипедист, если расстояние от села до города составляет 38 км?