ГЕОМЕТРИЯ

Раздел И. ПЛАНИМЕТРИЯ

§7. КРУГ. КРУГ.

5. Касательная к окружности и ее свойства.

 

Касательной к окружности называют прямую,
которая имеет одну общую точку с кругом. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 185 прямая а — касательная к
круга с центром в точке О; точка А — точка касания.

Свойства касательной к окружности:

1. Касательная к окружности перпендикулярна к
радиуса, проведенного в точку касания.

На рисунке 185: а ОА.

2. Расстояние от центра окружности до
касательной к этой окружности равен радиусу окружности.

На рисунке 185: расстояние от центра
круги точки О до касательной равно радиусу окружности ОА.

3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны между собой.

На рисунке 186: к окружности из точки А
проведены две касательные;
М и N — точки касания. Тогда AM = AN.

 

 

Прямую, которая имеет с окружностью две общие
точки называют секущей. На рисунке 187 прямая
m — секущая к окружности.

 

 

Свойства касательной и секущей.

1. Если из точки S, находящейся вне круга,
провести секущую, которая пересекает окружность в точках А и В и секущую
SС, где С — точка касания, то

SС2 = SА S(рис.
188).

 

 

2. Если из точки S провести две секущие, одна из которых
пересекает окружность в точках А и В, а вторая в точках М и
N, то

SА
SВ = SМ SN (рис. 189).

 

 

Пример. Из точки S, находящейся вне круга, к окружности
проведено секущую, пересекающую окружность в точках А и В и секущую
SC длиной 6 см. AB = 5 см. Найдите SA, если SA < SB.

Решение (рис. 188). Пусть SA = х см, тогда SB = х + 5 (см). Имеем SC2 = SA SB; 62
= х(х + 5); х2

+ 5
36 = 0. Учитывая х >
0, имеем х = 4 (см).
Следовательно,
SA = 4 (см).