Глава 2 Обыкновенные дроби

§12. Преобразование обычных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби

Мы уже умеем преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные или в смешанные числа, например:

Также мы умеем преобразовывать обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1000, … в десятичные, например,

Чтобы научиться преобразовывать обыкновенные дроби с другими знаменателями в десятичные, необходимо вспомнить, что обычный дробь является частным от деления числителя на знаменатель. Итак, чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно числитель разделить на знаменатель.

Например:

Если на десятичную дробь нужно преобразовать смешанное число, достаточно числитель дробной части разделить на знаменатель и к образованному десятичной дроби прибавить целую часть смешанного числа.

Пример. Подать число десятичной дробью.

Решения.

Попробуем превратить дробь в десятичную.

Итак,

Видим, что деление не закончилось, то есть получили бесконечный периодический десятичный дробь. А во всех предыдущих случаях мы получали конечные десятичные дроби. Цифры 8 и 1, которые стоят рядом в записи бесконечной десятичной дроби и повторяются множество раз подряд, образуют период бесконечной десятичной дроби. Это записывают так: 0,818181… = 0,(81) (читают: «нуль целых 81 сотая в периоде»). Итак,

Как видим, при преобразовании обыкновенной дроби на десятичный могут образовываться как конечные, так и бесконечные десятичные дроби. Конечные дроби образуются лишь тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители нет простых множителей, кроме 2 и 5. В других случаях образуется бесконечный периодический десятичный дробь. Например, дробь преобразуется в периодический десятичный дробь, потому что 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3, то есть в расписании есть множитель 3. Убедимся:

(читают: «нуль целых 41 сотая и 6 в периоде»).

Дробь преобразуется в конечный десятичная дробь, потому что 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5, то есть не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Действительно,

Преобразовать обыкновенные дроби в десятичные можно и другим способом: умножить числитель и знаменатель на необходимое количество двоек или пятерок так, чтобы количество двоек в знаменателе равно количеству пятерок. Тогда знаменатель будет кратным числу 10. Например:

А еще ранише…

В XVII ст. превращением обыкновенной дроби в десятичную занимались итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598— 1647), английский математик Джон Уоллис (1616-1703) и другие.

В процессе бесконечного деления числителя обыкновенной дроби на его знаменатель эти ученые получили периодические дроби.

В XVIII ст. периодические дроби также изучались немецким ученым Иоганном Ламбертом (1728-1777) и выдающимся математиком, физиком, механиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707— 1783). Полную теорию периодических дробей разработал в начале XIX века. выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777— 1855).

Термин «период» для группы цифр, которые бесконечно повторяются, происходит от греческого слова «періодис» — обход, вращение по кругу.

Как превратить обыкновенную дробь в десятичную? Всегда ли это превращение дает конечный десятичная дробь? Запись числа называют бесконечным десятичным периодическим дробью? В любом случае обычный несократимый дробь можно преобразовать в конечный десятичная дробь?

274. Прочитай: 0,5; 1,13; 0,(7); 3,1(2); 4,2(37).

275. Проверь, что:

276. Проверь, что:

277. Преврати в десятичную дробь данное число (в случае получения бесконечного деления дроби прекрати после определения периода):

278. Преврати в десятичную дробь данное число (в случае получения бесконечного деления дроби прекрати после определения периода):

279. Преврати обыкновенную дробь в десятичную и обчисли:

280. Преврати обыкновенную дробь в десятичную и обчисли:

281. Запиши в виде бесконечной десятичной периодической дроби долю:

1) 5 : 99; 2) 19 : 11; 3) 43 : 12; 4) 12,5 : 27.

282. Запиши в виде бесконечной десятичной периодической дроби долю:

1) 10 : 9; 2) 7 : 15; 3) 44 : 6; 4) 25,4 : 11.

283. Сравни дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде десятичных дробей:

284. Сравни дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде десятичных дробей:

285. Красную ленту, длина которой 25 м, разрезали на 7 равных частей, а зеленую ленту, длина которой 39 м, разрезали на 11 одинаковых частей. Длина которой из полученных частей больше: красной или зеленой?

286. Округли десятичные дроби:

1) до единиц: 2,73; 3,052; 7,5789;

2) до десятых: 11,82; 0,4859; 11,2342;

3) до сотых: 0,451; 12,499; 1,574.

287. 1) являются Ли взаимно простыми числа 2012 и 2015? 2) Назови три числа, каждое из которых является взаимно простым с числом 2012 и с числом 2015.

288. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей где a, b, c, d — нечетные натуральные числа?