УРОК 58
Тема. Решение логарифмических уравнений
Цель урока. формирование умений учащихся решать логарифмические уравнения различными методами: сведение логарифмического уравнения к уравнений; метод потенцирования; возведение логарифмов к одной и той же основы; метод логарифмирования и графический метод.
И. Проверка домашнего задания
1. Устное решение логарифмических уравнений с использованием таблицы 24 для устных вычислений «Логарифмические уравнения».
Таблица 24
Логарифмические уравнения
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
log5 x = 2 |
|
log9 x = |
log7x = 1 |
log3 x = -2 |
|
2 |
log2(-x) = -3 |
log5(x – 2) = 2 |
|
lg(x + 3) = lg x |
lg(x+1) = lg(x+1) |
|
3 |
lg(2x+1) = lg x |
lg x2 = 0 |
log2(x – 4) = 3 |
log3(x — 1) = 0 |
log3(x – 1) = 1 |
|
4 |
lg(x – 3) = –2 |
lg(5 – x) = – 1 |
lg |
lg |
lg cos x = 1 |
|
5 |
log x+1 2 = 1 |
logx 5 = |
lg sin x = 0 |
lg lg x = 0 |
lg lg x = 1 |
=
2. Обсуждение вопросов, возникших во время выполнения домашних заданий.
II. Восприятие и осознание различных методов решения логарифмических уравнений
1. Метод сведения логарифмического уравнения в алгебраические.
Пример. Решите уравнение log
х – 3log2 x = 4.
Решения
Обозначим log2 x через у. Данное уравнение примет вид:
у2 – 3y = 4; у2 – 3у – 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.
Отсюда log2 x = 4, log2 x =-1;
x = 24; x = 2-1; x = 16, x = 
.
Проверка: 1) log 16 – 3 log2 16 = 16 – 12 = 4;
2) log – 3 log2 = -1 + 3 = 4.
Ответ: 16; .
2. Метод потенцирования.
Пример. Решите уравнение log5(x – 1) + log5(x – 2) = log5(x + 2).
Решения
Пропотенціюємо данное равенство и получим:
log5((x – 1)(х – 2)) = log5(x + 2); (х – 1)(х – 2) = х + 2; x2 – 2х – х + 2 = х + 2;
x2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0; х = 0 или х = 4.
Проверка:
1) Значение х = 0 не является корнем уравнения, потому что выражения log5(x – 1) и log5(x – 2) не имеют смысла при х = 0.
2) log5(x–1) + log5(x–2) = log5(4-1) + log5(4-2) = log53 + log52 = log5(2·3) = log56.
log5(x + 2) = log5(4 + 2) = log56.
Следовательно, х = 4 — корень.
Ответ: 4.
3. Метод возведения логарифмов к одной и той же основы.
Пример. Решите уравнение log3 х – 2
х = 3.
Решения
log3 x – 2x = 3; log3 х – 2 · 
= 3; log3 x – 2· 
= 3; log3 x + 2log3 x = 3;
3log3 x = 3; log3 x = 1; x = 3.
Проверка: log3 3 – 23 = 1 + 2 = 3. Следовательно, х = 3 — корень.
Ответ: 3.
4. Метод логарифмирования.
Пример. Решите уравнение х lgx = 100х.
Решения
Прологарифмуємо обе части равенства (х > 0), получим:
lgx lgx = lg(100x); lgx lgx = lg 100 + lgx; lg2x – lg x – 2 = 0.
Заменим lg х = у. Уравнение примет вид: у2 – у – 2 = 0; y1 = 2, y2 = —1.
Тогда: 1) lg х = 2; х = 102; х = 100.
2) lg x = -1; x = 10-1; x = 0,1.
Проверка: 1) xlgx = 100 lg100 = 1002 ; 100х = 100 · 100 = 1002.
Следовательно, x = 100 — корень.
2) xlgx = 0,1lg0,1 = 0,1-1 = 
= 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.
Следовательно, x = 0,1 — корень.
Ответ: 100; 0,1.
5. Графический метод решения логарифмических уравнений.
Пример. Решите уравнение lg x = 1 – х графически.
Решения
В одной и той же системе координат строим графики функции у = lg x и у = 1 – х (рис. 165). Абсцисса точки пересечения построенных графиков равна 1. Следовательно, х = 1 — корень данного уравнения.
Ответ: 1.
III. Приобретение умений решать логарифмические уравнения
Решение упражнений 52 (10; 14), 53 (4; 10), 54 (3; 9).
IV. Подведение итогов урока
V. Домашнее задание
Раздел V § 3. Вопросы и задания для повторения раздела V № 26-31. Упражнения №№ 52 (9; 11), 53 (12), 54 (2; 7).